L'équation cachée : explorer les fondements mathématiques de la musique

Pour ceux qui sont pressés de retourner à la console de mixage, voici un résumé de la façon dont les mathématiques influencent la musique :

• La hauteur est une fréquence : Ce que nous percevons comme une note spécifique est en réalité la vitesse de vibration, mesurée en hertz (Hz).

• Les internes sont des rapports : La relation entre deux notes (un intervalle) est définie par des rapports mathématiques simples. Une octave a un rapport de 2:1 ; une quinte juste, de 3:2.

• La série harmonique : Chaque son naturel est composé d’une fréquence fondamentale et d’une série d’harmoniques. Cette série définit le timbre (la couleur du son).

• La consonance est une question de mathématiques simples : Notre cerveau privilégie les relations numériques simples. Les rapports complexes et discordants créent de la dissonance.

• L’accordage est un compromis : Les intervalles purement mathématiques ne sont pas parfaitement réguliers. L’accordage moderne (tempérament égal) simplifie légèrement les calculs pour nous permettre de jouer dans toutes les tonalités.

Avant de parler d'harmonie, il est essentiel de définir le son dans sa forme la plus pure. Le son est une perturbation dans un milieu – généralement l'air – créée par une vibration. Lorsqu'un cône de haut-parleur se déplace d'avant en arrière, il comprime et raréfie les molécules d'air, envoyant une onde longitudinale vers votre oreille.

En laboratoire, le son le plus pur est l'onde sinusoïdale. Elle représente une fréquence unique, sans harmoniques. Bien que musicalement peu attrayante, elle constitue la base mathématique de tous les sons complexes.

Fréquence et hauteur

La hauteur que nous percevons est directement liée à la fréquence de l'onde, mesurée en cycles par seconde, ou hertz (Hz). Le calcul est ici logarithmique, une notion essentielle pour les ingénieurs du son.

• Doubler la fréquence** augmente la hauteur d'une octave.

• Si le La4 est à 440 Hz, le La5 est à 880 Hz et le La3 est à 220 Hz.

C’est pourquoi les graphiques de fréquence des égaliseurs sont logarithmiques plutôt que linéaires ; la distance entre 100 Hz et 200 Hz sonne de la même manière à nos oreilles que la distance entre 10 kHz et 20 kHz, malgré l’énorme différence de bande passante numérique.

L'histoire des fondements mathématiques de la musique commence généralement dans la Grèce antique avec Pythagore. La légende raconte qu'il passa devant une forge et remarqua que des marteaux de poids différents produisaient des sons différents. Bien que l'anecdote sur les marteaux soit probablement une apocryphe (le poids n'influe pas linéairement sur la hauteur du son), ses expériences avec le monochord ont posé les bases de la théorie musicale occidentale.

Pythagore découvrit que diviser une corde vibrante en intervalles consonants, selon des rapports entiers précis, produisait des intervalles harmonieux.

Les Nombres d'Or en Musique

1. L'Unisson (1:1) : La corde vibre dans son intégralité.

2. L'Octave (2:1) : Diviser la corde en deux double sa fréquence. Le son est identique, mais plus aigu.

3. La Quinte Juste (3:2) : Diviser la corde en trois parties et la pincer aux deux tiers crée l'harmonie la plus stable après l'octave. Ce rapport 3:2 est à la base du cycle des quintes.

4. La quarte juste (4:3) : Un rapport de 4:3 crée l'inverse de la quinte.

Ces nombres entiers simples — 1, 2, 3, 4 — forment la base de la tétracys pythagoricienne. L'oreille apprécie ces rapports simples car les ondes sonores s'alignent fréquemment, créant une figure d'interférence harmonieuse et stable. Lorsque l'on aborde des rapports plus complexes comme 45:32 (le triton), les ondes sonores entrent en conflit, créant une sensation de tension ou de dissonance.

Si vous jouez un la4 (440 Hz) au piano et un la4 au violon, la hauteur est la même, pourtant le son est différent. Pourquoi ? Ceci nous amène à la série harmonique, concept fondamental pour comprendre le « son ».

Dans la nature, les objets vibrent rarement à une seule fréquence. Lorsqu'on pince une corde de guitare, elle vibre sur toute sa longueur (la fondamentale), mais aussi simultanément par demi-tons, tiers, quarts et quintes. Ces subdivisions produisent les harmoniques.

La séquence mathématique

Si notre fréquence fondamentale (f) est de 100 Hz :

1. 1re harmonique (fondamentale) : 100 Hz (1 × f)

2. 2e harmonique : 200 Hz (2 × f) – Une octave au-dessus

3. 3e harmonique : 300 Hz (3 × f) – Quinte juste au-dessus de l’octave

4. 4e harmonique : 400 Hz (4 × f) – Deux octaves au-dessus

5. 5e harmonique : 500 Hz (5 × f) – Tierce majeure au-dessus de la double octave

Importance pour les audiophiles

Cette séquence constitue la signature sonore spécifique d’un instrument.

• Les clarinettes produisent principalement des harmoniques impaires, ce qui leur confère un son creux et boisé.

• Les violons possèdent une riche cascade d'harmoniques paires et impaires, ce qui leur confère une grande brillance.

• Les amplificateurs à tubes sont prisés car ils ont tendance à générer une distorsion harmonique d'ordre pair (2e, 4e, etc.), qui s'harmonise musicalement avec le signal source.

• L'écrêtage des amplificateurs à transistors génère souvent des harmoniques d'ordre impair, qui peuvent sonner agressifs et dissonants.

Comprendre la série harmonique, c'est essentiellement comprendre la physique du timbre.

On attribue souvent des émotions à la musique : tristesse, joie, tension, résolution. Étonnamment, il s’agit en grande partie d’une réaction à des interférences mathématiques. Le fondement mathématique de la musique stipule que la consonance (harmonie) et la dissonance (tension) sont des phénomènes physiques qui se produisent dans l’air et dans la cochlée de l’oreille.

Consonance vs. Dissonance

Lorsque deux notes sont jouées simultanément, leurs ondes sonores interagissent.

• Interférence constructive : Dans les rapports simples (comme la quinte juste 3:2), les crêtes et les creux des ondes s’alignent régulièrement. L’oreille perçoit cela comme une stabilité.

• Battements et rugosité : Dans les rapports complexes (comme la seconde mineure 16:15), les ondes sont légèrement désynchronisées. Cela provoque un phénomène appelé « battements », où le volume pulse rapidement. Le cerveau perçoit ces battements rapides comme une « rugosité » ou une dissonance.

Le mystère du Majeur et du Mineur

Pourquoi une tierce majeure (rapport 5:4) sonne-t-elle joyeuse, tandis qu'une tierce mineure (rapport 6:5) sonne triste ? De nombreuses théories existent, mais une explication scientifique répandue s'appuie sur la série harmonique. La tierce majeure apparaît plus tôt dans la série harmonique (la 5e harmonique) et est davantage renforcée par la physique de la note fondamentale. La tierce mineure est plus éloignée, créant une subtile ambiguïté, une sorte d'« obscurité », que nous interprétons émotionnellement comme de la tristesse ou du sérieux.

Voici où les mathématiques musicales nous jouent un tour cruel. Si la musique est basée sur des rapports parfaits, on devrait pouvoir les empiler à l'infini, n'est-ce pas ?

Eh bien non.

Imaginez que vous partiez du bas d'un piano et que vous montiez par quintes parfaites (rapport 3:2). Après 12 degrés, vous devriez arriver à une note qui correspond exactement à une montée de 7 octaves.

Faisons le calcul :

• $(3/2)^{12} \approx 129,74$

• $(2/1)^7 = 128$

129,74 n'est pas égal à 128.

Il existe une petite différence, appelée virgule pythagoricienne. Le cycle des quintes n'est pas mathématiquement fermé. Si l'on accorde un clavier selon des rapports mathématiques parfaits (intonation juste), certaines notes sonneront divinement bien, tandis que d'autres sonneront horriblement fausses, créant ce qu'on appelait autrefois « l'intervalle du loup » (car il ressemblait au hurlement d'un loup).

La solution : le tempérament égal

Pour résoudre ce problème, la musique occidentale moderne utilise le tempérament égal à 12 tons (12-TET). On répartit uniformément le comma pythagoricien sur les 12 notes de l'octave.

Mathématiquement, le rapport entre chaque demi-ton est égal à la racine douzième de deux (2^(1/12)), soit environ 1,05946.

Cela signifie qu'en musique moderne, rien n'est parfaitement juste, sauf l'octave. Chaque tierce majeure que vous entendez au piano est légèrement plus haute ; chaque quinte est légèrement plus basse. Nous avons habitué nos oreilles à accepter cette imperfection mathématique en échange de la possibilité de jouer dans n'importe quelle tonalité sans réaccorder nos instruments.

Alors que la hauteur d'un son est liée à sa fréquence (axe vertical), le rythme est lié à sa durée (axe horizontal). Leur relation est en réalité plus étroite qu'on ne le pense. Si l'on ralentit suffisamment une note (en dessous de 20 Hz), elle cesse d'être un son et devient un rythme (un battement de cliquetis).

• Signatures rythmiques : Elles représentent des fractions. Une mesure à 4/4 implique une division du temps en quatre parties.

• Polyrythmies : Elles se produisent lorsque deux rapports rythmiques différents sont joués simultanément, comme 3 temps contre 2 (un rapport de 3:2). Remarquez la similitude ? Une polyrythmie à 3:2 est en quelque sorte la version rythmique d'une quinte juste.

Le « groove » ou le « swing », souvent évoqués dans le jazz et le hip-hop, ont également une base mathématique. Ils consistent à retarder certaines subdivisions du temps selon des pourcentages spécifiques (souvent basés sur des triolets), en s'éloignant d'une division stricte de 50/50 pour se rapprocher d'un rapport de 66/33.

Pour visualiser la différence entre l'accordage mathématique pur et l'accordage moderne, observez l'écart en cents (où 100 cents = 1 demi-ton).

| Intervalle | Rapport d'intonation juste | Décimal | Valeur du tempérament égal | Différence (cents) |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| Unisson | 1:1 | 1,000 | 1,000 | 0 |

| Tierce majeure | 5:4 | 1,250 | 1,2599 | +14 (dièse) |

| Quinte juste | 3:2 | 1,500 | 1,4983 | -2 (bémol) |

| Septième majeure | 15:8 | 1,875 | 1,8877 | +12 (dièse) |

| Octave | 2:1 | 2 000 | 2 000 | 0 |

Remarquez combien la tierce majeure est nettement plus aiguë dans l'accordage moderne que dans l'accordage naturel. C'est pourquoi les quatuors vocaux (qui chantent naturellement en justesse naturelle) ont souvent un son plus doux qu'un piano.