La ecuación oculta: explorando la base matemática de la música

Para quienes tienen prisa por volver a la mesa de mezclas, aquí está el resumen de cómo las matemáticas determinan la música:

• Tono es Frecuencia: Lo que oímos como una nota específica es en realidad la velocidad de vibración, medida en Hertz (Hz).

• Intervalos son Razones: La relación entre dos notas (un intervalo) se define mediante razones matemáticas simples. Una octava es 2:1; una quinta justa es 3:2.

• Serie Armónica: Todo sonido natural consta de una frecuencia fundamental más una serie de sobretonos matemáticos. Esta serie define el timbre (color del tono).

• Consonancia = Matemáticas Simples: Nuestro cerebro prefiere relaciones numéricas simples. Las razones complejas y contradictorias crean disonancia.

• Afinación es un Compromiso: Los intervalos puramente matemáticos no se repiten a la perfección. La afinación moderna (Temperamento Igual) manipula ligeramente las matemáticas para permitirnos tocar en todas las tonalidades.

Antes de hablar de armonía, debemos definir el sonido en su forma más pura. El sonido es una perturbación en un medio, generalmente aire, creada por vibración. Cuando el cono de un altavoz se mueve hacia adelante y hacia atrás, comprime y enrarece las moléculas de aire, enviando una onda longitudinal hacia el oído.

En el laboratorio, el sonido más puro es la onda sinusoidal. Representa una sola frecuencia sin armónicos. Aunque musicalmente aburrida, es la base matemática de todos los sonidos complejos.

Frecuencia y Tono

El tono que percibimos está directamente relacionado con la frecuencia de la forma de onda, medida en ciclos por segundo o hercios (Hz). La matemática aquí es logarítmica, lo cual es crucial para los ingenieros de audio.

• Duplicar la frecuencia eleva el tono exactamente una octava.

• Si A4 es 440 Hz, A5 es 880 Hz y A3 es 220 Hz.

Es por esto que los gráficos de frecuencia de los ecualizadores son logarítmicos en lugar de lineales: la distancia entre 100 Hz y 200 Hz suena igual a nuestros oídos que la distancia entre 10 kHz y 20 kHz, a pesar de la enorme diferencia en el ancho de banda numérico.

La historia de la base matemática de la música suele comenzar en la antigua Grecia con Pitágoras. Cuenta la leyenda que pasó por una herrería y se dio cuenta de que martillos de diferentes pesos producían tonos diferentes. Si bien la historia del martillo probablemente sea física apócrifa (el peso no escala el tono linealmente), sus experimentos con el monocordio sentaron las bases de la teoría musical occidental.

Pitágoras descubrió que dividir una cuerda vibrante en proporciones enteras específicas producía intervalos agradables (consonantes).

Las Proporciones Áureas de la Música

1. El Unísono (1:1): La cuerda vibra como un todo.

2. La Octava (2:1): Dividir la cuerda por la mitad duplica la frecuencia. Suena como la "misma" nota, solo que más aguda.

3. La Quinta Justa (3:2): Dividir la cuerda en tres partes y pulsar en la marca de dos tercios crea la armonía más estable, aparte de la octava. Esta proporción de 3:2 es la base del Círculo de Quintas.

4. La Cuarta Justa (4:3): Una proporción de 4:3 crea el recíproco de la quinta.

Estos números enteros simples —1, 2, 3, 4— forman la base de la Tetractys pitagórica. El oído aprecia estas proporciones simples porque las formas de onda físicas se alinean con frecuencia, creando un patrón de interferencia suave y estable. Al adentrarnos en proporciones complejas como 45:32 (el tritono), las formas de onda chocan, creando la sensación de tensión o disonancia.

Si tocas La4 (440 Hz) en un piano y La4 en un violín, tienen la misma afinación, pero suenan distintos. ¿Por qué? Esto nos lleva a la serie armónica, quizás el concepto más crucial para comprender el "tono".

En la naturaleza, los objetos rara vez vibran a una sola frecuencia. Al pulsar una cuerda de guitarra, vibra en toda su longitud (la fundamental), pero vibra simultáneamente en mitades, tercios, cuartos y quintos. Estas subdivisiones producen sobretonos o armónicos.

La secuencia matemática

Si nuestra frecuencia fundamental ($f$) es 100 Hz:

1. 1.er armónico (fundamental): 100 Hz ($1 \times f$)

2. 2.º armónico: 200 Hz ($2 \times f$) - Una octava arriba

3. 3.er armónico: 300 Hz ($3 \times f$) - Quinta justa por encima de la octava

4. 4.º armónico: 400 Hz ($4 \times f$) - Dos octavas arriba

5. 5.º armónico: 500 Hz ($5 \times f$) - Tercera mayor por encima de la octava doble

Por qué esto es importante para los audiófilos

Esta secuencia es la "huella dactilar" específica de un instrumento.

• Los clarinetes producen principalmente armónicos impares, lo que les da un sonido hueco y amaderado.

• Los violines tienen una rica cascada de armónicos pares e impares, lo que les da brillo.

• Los amplificadores de válvulas son apreciados porque tienden a generar distorsión armónica de orden par (2.ª, 4.ª, etc.), que armoniza musicalmente con la señal fuente.

• El recorte de estado sólido a menudo genera armónicos de orden impar, que pueden sonar ásperos y disonantes.

Comprender la serie armónica es, en esencia, comprender la física del timbre.

A menudo atribuimos emociones a la música: tristeza, alegría, tensión, resolución. Sorprendentemente, esto se debe en gran medida a patrones de interferencia matemática. La base matemática de la música dicta que la consonancia (placer) y la disonancia (tensión) son eventos físicos que ocurren en el aire y en la cóclea del oído.

Consonancia vs. Disonancia

Cuando dos notas se tocan juntas, sus ondas sonoras interactúan.

• Interferencia Constructiva: En proporciones simples (como la quinta justa de 3:2), los picos y valles de las ondas se alinean regularmente. El oído percibe esto como estabilidad.

• Pulso y Aspereza: En proporciones complejas (como la segunda menor de 16:15), las ondas están ligeramente desincronizadas. Esto causa un fenómeno llamado "pulso", donde el volumen pulsa rápidamente. El cerebro percibe este rápido latido como "aspereza" o disonancia.

El misterio de la tercera mayor vs. la tercera menor

¿Por qué una tercera mayor (relación 5:4) suena alegre, mientras que una tercera menor (relación 6:5) suena triste? Existen muchas teorías, pero una de las teorías científicas predominantes se basa en la serie armónica. La tercera mayor aparece antes en la serie armónica (el quinto armónico) y se ve reforzada con mayor fuerza por la física de la nota fundamental. La tercera menor es más distante, creando una sutil ambigüedad u "oscuridad" que interpretamos emocionalmente como tristeza o seriedad.

Aquí es donde las matemáticas de la música nos juegan una mala pasada. Si la música se basa en proporciones perfectas, deberíamos poder apilarlas infinitamente, ¿verdad?

Incorrecto.

Imagina que empiezas desde abajo en un piano y subes quintas justas (proporción 3:2). Después de 12 pasos, deberías llegar a una nota que es exactamente igual a subir 7 octavas.

Hagamos los cálculos:

• $(3/2)^{12} \approx 129.74$

• $(2/1)^7 = 128$

129.74 no es igual a 128.

Hay una pequeña discrepancia, conocida como la coma pitagórica. El ciclo de quintas no se cierra matemáticamente. Si afinas un teclado usando proporciones matemáticas puramente perfectas (Entonación Justa), algunas teclas sonarán divinamente, pero otras sonarán terriblemente desafinadas, creando lo que antes se llamaba un "Intervalo de Lobo" (porque aullaba como un lobo).

La Solución: Temperamento Igual

Para resolver esto, la música occidental moderna utiliza el Temperamento Igual Dodecafónico (12-TET). Tomamos la coma pitagórica y la distribuimos uniformemente entre las 12 notas de la octava.

Matemáticamente, la proporción entre cada semitono se convierte en la raíz duodécima de dos ($2^{1/12}$), o aproximadamente 1.05946.

Esto significa que en la música moderna, nada está perfectamente afinado excepto la octava. Cada tercera mayor que escuchas en un piano es ligeramente sostenida; cada quinta es ligeramente bemol. Hemos entrenado nuestros oídos para aceptar esta imperfección matemática a cambio de la capacidad de tocar en cualquier tonalidad sin tener que volver a afinar los instrumentos.

Mientras que la altura es la matemática de la frecuencia (vertical), el ritmo es la matemática del tiempo (horizontal). La relación es, en realidad, más estrecha de lo que se cree. Si se reduce la velocidad de una altura lo suficiente (por debajo de 20 Hz), deja de ser un tono y se convierte en un ritmo (un pulso rítmico).

• Compases: Representan fracciones. El compás de 4/4 implica una división del tiempo en cuatro partes.

• Polirritmos: Se producen cuando se tocan simultáneamente dos proporciones rítmicas diferentes, como 3 tiempos contra 2 (una proporción de 3:2). ¿Observan la similitud? Un polirritmo de 3:2 es esencialmente la versión rítmica de un intervalo de quinta justa.

El ritmo o swing, del que se habla a menudo en el jazz y el hip-hop, también tiene una base matemática. Implica retrasar ciertas subdivisiones del pulso en porcentajes específicos (a menudo basados en tresillos), alejándose de una división estricta de 50/50 a algo más cercano a 66/33.

Para visualizar la diferencia entre la matemática pura y la afinación moderna, observa la desviación en centésimas (donde 100 centésimas = 1 semitono).

| Intervalo | Relación de entonación justa | Decimal | Valor de temperamento igual | Diferencia (centésimas) | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Unísono | 1:1 | 1.000 | 1.000 | 0 | | Tercera mayor | 5:4 | 1.250 | 1.2599 | +14 (Sostenido) | | Quinta justa | 3:2 | 1.500 | 1.4983 | -2 (Bemol) | | Séptima mayor | 15:8 | 1.875 | 1.8877 | +12 (Sostenido) | | Octava | 2:1 | 2.000 | 2.000 | 0 |

Observe cómo la tercera mayor es significativamente más aguda en la afinación moderna de lo que la naturaleza pretendía. Por eso, los cuartetos vocales (que cantan naturalmente en afinación justa) suelen sonar más dulces que un piano.